משתני מצב ונגזרות:

• משתני מצב:
  • המספר הקטן ביותר של משתנים שיכול לתאר בשלמות את המערכת בכל זמן.
  • נקראים גם תנאי ההתחלה מכיוון שנצטרך להשתמש בהם מתחילת המערכת.
• נגזרות של משתני מצב:
  • הנגזרות המתמטיות של משתני המצב.
• מערכות דינמיות הן מערכות שניתנות לאפיון על ידי משוואות דיפרנציאליות שקושרות בין משתני המצב לנגזרותיהם.

סימונים:

• נגזרת ראשונה: $Y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$
• נגזרת ראשונה לפי זמן: $\dot{y}=\frac{dy}{dt}$
• נגזרת שלישית: $Y^{‴}=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$
• נגזרת שלישית לפי זמן: $\stackrel{⃛}{y}=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$

במערכת דינמית:

• במערכת דינמית מתקיימים חלקיק או אוסף חלקיקים או תהליכים שמצבם משתנה לאורך זמן.
• מסיבה זו נקיים משוואת תנועה שניתנת בצורה של משוואה דפרנציאלית.

משוואות דיפרנציאליות מוצמדות:

• לדוגמא : $\dot{X}=x(a-by)\dot{Y}=y(a-bx)$
• כפי שניתן לראות יש משוואה דיפרנציאלית לכל משתנה והן משתמשות אחת בשניה במשוואות שלהן.

שיטות אינטגרציה:

• שיטות אנליטיות:
  • פתרון מדויק שמושג על ידי אינטגרציה של משוואה.
  • אפשריות רק במקרים מאוד מוגבלים.
  • ישנן שתי סוגים של משוואות רלוונטיות, ולכל אחת גישת פתרון שונה:
    • משוואה הומוגנית (שווה לאפס):
      • ננחש פיתרון אקספוננציאלי למשוואה.
      • נציב אותו, ומכך נמצא את הקבועים.
    • משוואה לא הומוגנית (שווה לקבוע):
      • פתרון משוואה מסוג זה מסובכת יותר, מכיוון שלכל פתרון פרטי של משוואה מסוג זה ניתן להצמיד פתרון הומוגני שיצטמצם (שכן הוא שווה לאפס).
      • נעביר את האיברים שתלויים בפונקציה ובנגזרותיה לאגף שמאל כדי לזהות את החלק ההומוגני.
      • נמצא את פתרון המשוואה ההומוגנית על ידי ניחוש פתרון בצורת אקספוננט.
      • נמצא פתרון פרטי לכל המשוואה על ידי ניחש פתרון. (בד"כ קבוע)
      • נסכום את שני הפתרונות כדי למצוא את הפתרון הכללי.
      • נציב את תנאי ההתחלה כדי למצוא את הקבועים שנשארו.
• שיטות חישוביות:
  • משתמשים בידע על הנגזרת כדי להתקדם צעד קטן בזמן.
  • נשתמש בצעד כדי להתקדם עוד צעד וכו וכו'
• שיטת אוילר:
  • במקום לנסות למצוא את פונקציית הפתרון (מסובך), נוכל לדעת מה השיפוע של המשיק, ולהתקדם בצעדים קטנים בכיוונו כדי לקבל קירוב של הפתרון.
  • המשמעות היא, שניתן לקפוץ לזמן כלשהוא בעתיד על ידי הנחה שהפונקציה שלנו היא קו ישר (על ידי גזירה) ואפשר לקפוץ בין נקודות עליה.
  • כדי לשפר את הפתרון שלנו, נוכל להקטין את מקדם הצעד שוב ושוב עד שנגיע לפתרון מספק (נהוג להקטין בסדר גודל אחד).
• שיטת Runga-kutta

למה שיטות חישוביות?

• הוכח כי אם יש משוואה דיפרנציאלית ותנאי התחלה של בעיה, תמיד יש פתרון והוא יחיד (אך כמעט תמיד לא יודעים למצוא את הפתרון האנליטי).
• לכן נצטרך להשתמש בשיטות חישוביות.